$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{dx}{[x] + [\sin x] + 4}$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $[t]$ का अर्थ $t$ से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक है।

मान लीजिए $f:[-2, 3] \to [0, \infty)$ एक सतत फलन है,इस प्रकार कि सभी $x \in [-2, 3]$ के लिए $f(1-x) = f(x)$ है। यदि $R_1$,$y = f(x)$,$x = -2$,$x = 3$ और $x$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का संख्यात्मक मान है और $R_2 = \int_{-2}^3 x f(x) dx$ है,तो:

$\int_0^{\pi / 2} \frac{\cos x}{3 \cos x+\sin x} d x=$

$\int_0^\pi \frac{x \, dx}{4 \cos^2 x + 9 \sin^2 x} = $

मान लीजिए $I_1 = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^{ - {x^2}}}\sin (x)dx} $,$I_2 = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^{ - {x^2}}}dx} $,और $I_3 = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^{ - {x^2}}}(1 + x)\,dx} $. निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$I: I_1 < I_2$
$II: I_2 < I_3$
$III: I_1 = I_3$
निम्नलिखित में से कौन सा (से) सत्य है (हैं)?

मान लीजिए $f$ एक धनात्मक फलन है। मान लीजिए $I_1 = \int_{1 - k}^k x f\{x(1 - x)\} dx$ और $I_2 = \int_{1 - k}^k f\{x(1 - x)\} dx$,जहाँ $2k - 1 > 0$ है। तो $I_1/I_2$ है